8.4 Zwei Länder Relation

Hier betrachten wir nun die Möglichkeit, Wachstumsraten in In- und Ausland zu vergleichen, also Fragen zu beantworten, wie: Was passiert, wenn die Wirtschaft des Inlands wächst, die des Auslandes aber schneller wächst?

Dazu betrachten wir die in- und ausländische Ökonomie symmetrisch. Es gelten

$$\begin{array}{rcll}{M}^d& =& \mathit{kPy}\&M^{d\ast }=k^{\text{∗}}{P}^{\text{∗}}{y}^{\text{∗}}& \\ M^s& =& M^d\&M^{s\ast }=M^{d\ast }& \end{array}$$

Im Geldmarktgleichgewicht bestimmt das jeweilige Geldangebot ($M^s$ und $M^{s\ast }$) die Geldmenge. Ersetzen wir dies in den Glednachfragegleichungen und dividieren diese durcheinander, so erhält man

$$\frac{M_0^s}{M_0^{s\ast }}=\frac{\mathit{kPy}}{k^{\text{∗}}{P}^{\text{∗}}{y}^{\text{∗}}}$$

Hier setzen wir noch die Kaufkraftparitätengleichung ein und erhalten:

$$\stackrel{P=S{P}^{\text{∗}}}{\Rightarrow }\frac{M_0^s}{M_0^{s\ast }}=S\frac{\mathit{ky}}{k^{\text{∗}}{y}^{\text{∗}}}$$

Aufgelöst nach dem Wechselkurs $S$ erhalten wir

$$\Rightarrow S=\frac{\frac{M}{M^{\text{∗}}}}{\frac{\mathit{ky}}{k^{\text{∗}}{y}^{\text{∗}}}}=\frac{\tilde{M}}{\tilde{k}ỹ},$$

wobei dei mit $\stackrel{~}{}$ gekennzeichneten Größen jeweils das Verhältnis der jeweiligen in- zu ausländischen Variablen kennzeichnet. Diese Gleichung lässt sich recht anschaulich interpretieren, da eine Änderung eine Tilde-Variablen $\stackrel{~}{}$ um x% bedeutet, dass sich die heimische Variable um x% mehr geändert hat als die ausländische. Wir zeigen das am Beispiel der Gelmenge unter Verwendung der Approximationen $\frac{1+x}{1+y}\approx 1+x-y$ und $\left(1+x\right)\left(1+y\right)\approx 1+x+y$ die jeweils für kleine $x$ und $y$ gelten.

$$\begin{array}{rcll}\tilde{M}& =& \left(1+\frac{x}{100}\right){\tilde{M}}_0& \\ M& =& \left(1+\frac{{\varphi }_M}{100}\right)M_0& \\ M^{\text{∗}}& =& \left(1+\frac{{\varphi }_M^{\text{∗}}}{100}\right)M_0^{\text{∗}}& \end{array}$$

Wir ersetzen nun $\tilde{M}=\frac{M}{M^{\text{∗}}}$

$$\left(1+\frac{x}{100}\right){\tilde{M}}_0=\tilde{M}=\frac{M}{M^{\text{∗}}}=\frac{\left(1+\frac{{\varphi }_M}{100}\right)M_0}{\left(1+\frac{{\varphi }_M^{\text{∗}}}{100}\right)M_0^{\text{∗}}}=\frac{1+\frac{{\varphi }_M}{100}}{1+\frac{{\varphi }_M^{\text{∗}}}{100}}{\tilde{M}}_0$$

Durch kürzen von ${\tilde{M}}_0$ an beiden Seiten erhalten wir

$$\begin{array}{rcll}1+\frac{x}{100}& =& \frac{1+\frac{{\varphi }_M}{100}}{1+\frac{{\varphi }_M^{\text{∗}}}{100}}\approx 1+\frac{{\varphi }_M}{100}-\frac{{\varphi }_M^{\text{∗}}}{100}\text{ oder}& \\ {\varphi }_M-{\varphi }_M^{\text{∗}}& =& x.& \end{array}$$

Man kann die Interpretation der obigen Gleichung auch formal herleiten, indem man ”loglinearisiert”, d.h. man logarithmiert beide Seiten der Gleichung und bildet dann die Differenz zur Vorperiode. Das Ergebnis ist dasselbe wie oben.

$$\begin{array}{rcll}S& =& \frac{\tilde{M}}{\tilde{k}ỹ}& \\ & \Rightarrow & \log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->S=\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\tilde{M}}{\tilde{k}ỹ}\right)=\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\tilde{M}-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\tilde{k}-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->ỹ=\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M^{\text{∗}}-\left(\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k^{\text{∗}}\right)-\left(\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y^{\text{∗}}\right)& \\ & \Rightarrow & \log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->S_0=\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M_0-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M_0^{\text{∗}}-\left(\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k_0-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k_0^{\text{∗}}\right)-\left(\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y_0-\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y_0^{\text{∗}}\right)& \\ & \Rightarrow & \mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->S_0=\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M_0-\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->M_0^{\text{∗}}-\left(\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k_0-\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k_0^{\text{∗}}\right)-\left(\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y_0-\mathrm{\Delta }\log <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y_0^{\text{∗}}\right)& \\ & \Rightarrow & {\varphi }_S={\varphi }_M-{\varphi }_{M^{\text{∗}}}-\left({\varphi }_k-{\varphi }_{k^{\text{∗}}}\right)-\left({\varphi }_y-{\varphi }_{y^{\text{∗}}}\right)& \end{array}$$

Es gilt somit

1. Ein Anstieg des relativen Geldangebots $\tilde{M}$ um x% lässt die Währung um x% abwerten.
2. Steigt das heimische Geldangebot $M$ um x% mehr als das ausländische $M^{\text{∗}},$ so wertet die Währung um x% ab.
3. Ein Anstieg des relativen realen BIP $ỹ$ um x% lässt die Währung um x% aufwerten.
4. Steigt das heimische BIP $y$ um x% mehr als das ausländische $y^{\text{∗}},$ so wertet die Währung um x% auf.
5. Ein Anstieg des relativen Kassenhaltungskoeffizienten (Stabilität der Transmissionsmechanismen am Finanzmarkt) $\tilde{k}$ Preisniveaus um x% lässt die Währung um x% aufwerten.

Dabei sind die einzelnen Änderungen additiv.