14.4 Wichtige Eigenschaften homogener Funktionen: Das Eulertheorem und die Gewinnfreiheit von Unternehmen mit linearen Skalenerträgen

$$f(x,y)\text{ist homogen vom Grad}n\iff x{f}_1^{\prime }(x,y)+y{f}_2^{\prime }(x,y)=\mathit{nf}(x,y)(1).$$

Wir zeigen zunächst, dass die rechte Seite von (2) gültig ist, wenn $f(x,y)$ homogen vom Grad $n$ ist (also "$\text{⇒}$"). Die Definition einer homogenen Funktion besagt:

$$f(\mathit{kx},\mathit{ky})=k^{n}f(x,y)\text{für alle}k\in {ℝ}_0^{\text{+}}$$

Wir differenzieren beide Seiten nach $k$:

$$x{f}_x(\mathit{kx},\mathit{ky})+y{f}_y(\mathit{kx},\mathit{ky})=n{k}^{n-1}f(x,y)$$

Setzt man $k=1$, so erhält man die rechte Seite von (1):

$${\mathit{xf}}_x(x,y)+{\mathit{yf}}_y(x,y)=\mathit{nf}(x,y)$$

Für den Beweis der Gegenrichtung (also "$\Leftarrow =$") stellen wir $g(\mathit{tk})=f(\mathit{kx},\mathit{ky})$ als Differenzialgleichung dar und zeigen, dass es nur eine Lösung gibt:

$$g^{\prime }(k)=\frac{d}{\mathit{dk}}f(\mathit{kx},\mathit{ky})=x{f}_x(\mathit{kx},\mathit{ky})+y{f}_y(\mathit{kx},\mathit{ky})=k^{-1}(\mathit{kx}{f}_x(\mathit{kx},\mathit{ky})+\mathit{ky}{f}_y(\mathit{kx},\mathit{ky}))=\frac{1}{k}\mathit{nf}(\mathit{kx},\mathit{ky})=\frac{n}{k}g(t)$$

Diese Differentialgleichung hat genau eine Lösung $g(k)=k^{n}g(1)$, also

$$f(\mathit{kx},\mathit{ky})=k^{n}f(x,y).$$

Bei Unternehmen mit konstanten Skalenerträgen, die sowohl auf dem Faktormarkt wie auch auf dem Gütermakrt im Wettbewerb stehen, wird der gesamte Umsatz auf die Produktionsfaktoren, z.B. in Form von Lohn für geleistetet Arbeit und Zins für Eigen- noder Fremdkapital, aufgeteilt. Es verbleibt kein Gewinn beim Unternehmen selbst.
Anstelle des Ausdrucks "konstante Skalenerträge" könnte man auch äquivalente Begriffe wie "linear homogene Produktionsfunktion" oder "eine Produktionsfundktion vom Homogenitätsgrad 1" verwenden. Beispiele für solche Produktionsfuntionen sind Cobb-Douglas-Funktionen mit $\alpha +\beta =1$, also $F(K,L)=K^{\alpha }{L}^{\beta }=K^{\alpha }{L}^{1-\alpha }$ oder lineare Funktionen wie $F(K,L)=\mathit{aK}+\mathit{bL}$.

Wir führen den Beweis hier zur Veranschaulichung nur mit zwei Produktionsfaktoren K und L durch. Die Verallgemeinerung auf beliebig viele Produktionsfaktoren ist trivial. Natürlich können auch andere Produktionsfaktoren wie z.B. hoch und gering qualifizierte Arbeit verwendet werden, ohne dass sich am Resultat des Theorems etwas ändert.
Der Beweis der Aussage erfolgt in fünf einfachen Schritten, in denen auch erklärt wird, warum die Voraussetzungen nötig sind, um die Aussage zu schlussfolgern.

1) Wettbewerb auf dem Gütermarkt: Das Unternehmen ist Preisnehmer, d.h. (1) die vom Unternehmen produzierte Menge kann abgesetzt werden und (2) der Marktpreis $p$ ändert sich nicht als Reaktion auf eine Produktionsmengenänderung des Unternehmens. Das Unternehmen nimmt den Marktpreis also als gegeben an, und passt seine Produtionsmenge optimal an.

2) Wettbewerb auf dem Faktormarkt: Das Unternehmen entlohnt die Produktionsfaktoren nach Wertgrenzprodukt, d.h. der Lohnsatz beträgt $w=\mathit{pL}{F}_L(K,L)$ und der Zins $r=\mathit{pK}{F}_K(K,L)$. 3) Die Produktionsfunktion ist linear homogen, d.h.

$$L{F}_L(K,L)+K{F}_K(K,L)=F(K,L)$$

4)

$$\text{Einnahmen}=\text{Stückpreis * umgesetzte Menge}=\mathit{pq}=\mathit{pF}(K,L)$$

5)

$$\text{Kosten}=\mathit{wL}+\mathit{rK}=p{F}_L(K,L)L+p{F}_K(K,L)K=p(L{F}_L(K,L)+K{F}_K(K,L))=\mathit{pF}(K,L)$$