Kapitel 18
Skalenerträge

Bei der Analyse von Produktionsfunktionen sind vor allem vier Aspekte von Bedeutung: (1) der Effekt einzelner Produktionsfaktoren, (2) die Austauschbarkeit von Produktionsfaktoren, (3) die Kosten und (4) das Produktionsvolumen. Wir werden uns hier insbesondere mit dem letzten Aspekt befassen.
Eine naive Annahme ist, dass bei optimalem Faktoreinsatz die Verdopplung der Inputs einen doppelt so großen Output erbringt. Eine Produktionsfunktion mit dieser Eigenschaft heißt Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen. Dies ist jedoch nicht immer so. Zum einen kann es sein, dass sich das optimale Faktoreinsatzverhältnis bei anderen Einsatzmengen ändert. So kann beispielsweise aus Platzgründen oder rechtlichen Bestimmungen eine Vervielfachung des Maschinen- oder Personaleinsatzes mit besonderen Hürden und Kosten verbunden sein, so dass sich eine Verschiebung hin zu relativ mehr Personal oder Kapitaleinsatz ergibt. Produktionsfunktionen, bei denen das optimale Faktoreinsatzverhältnis immer konstant bleibt, heissen homothetisch. Homogene Produktionsfunktionen, wie die hier verwendete Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, sind ein Spezialfall davon. Bei homogenen Produktionsfunktionen bleibt auch der Faktor, der angibt, um wieviel die Outputmenge steigt, wenn man alle Inputfaktoren verdoppelt, konstant, unabhängig von der aktuellen Menge der Inputs. Diese Faktor nennt man Homogenitätsgrad. In der obigen Graphik ist er mit $\lambda$ bezeichnet.Wird das x-Fache an Inputs eingesetzt, so steigt (bzw. fällt bei $x<1$) der Output auf das $x^{\lambda }$-Fache.

Ist $\lambda <1$, so steigt bei einer gleichmäßigen Erhöhung aller Inputs um x% der Output um weniger als x%. Man nennt das abnehmende Skalenerträge.

Ist $\lambda =1$, so steigt bei einer gleichmäßigen Erhöhung der aller Inputs um x% der Output um genau x%. Man nennt das konstante Skalenerträge.

Ist $\lambda >1$ , so steigt bei einer gleichmäßigen Erhöhung der aller Inputs um x% der Output um mehr als x%. Man nennt das zunehmende Skalenerträge.

Mit Hilfe des Schiebereglers kann der Homogenitätsgrad eingestellt werden. Da in der Graphik die Isoquanten für einen Output von 5, 10 sowie 15 gezeigt werden, ergibt sich folgendes. Bei abnehmenden Skalenerträgen braucht man mehr als das doppelte aller Inputfaktoren um die Verdopplung des Outputs von 5 auf 10 zu erreichen. Die Isoquanten entfernen sich voneinander. Bei zunehmenden Skalenerträgen braucht man weniger als das doppelte aller Inputfaktoren um die Verdopplung des Outputs von 5 auf 10 zu erreichen. Die Isoquanten bewegen sich aufeinander zu.
Die in der Graphik verwendete Produktionsfunkton ist

die einen Homogentätsgrad von $\lambda$ hat. Für die bessere Visualisierung des Effektes haben wir die Funktion so dynamisiert, dass der Output bei x=5 und y=5 immer auf 5 normiert wird.
Definition Homogene Funktion:
Eine Funktion $f(x,y)$ heisst homogen vom Grad $\lambda$, wenn

Für Funktionen mit mehr als zwei Inputvariablen ist die Definition entsprechend.
Definition Homothetische Funktion:
Eine Funktion $h(x,y)$ heisst homothetisch, wenn es eine homogene Funktion $f(x,y)$ und eine monotone Transformation $g$ (z.B.$g(x)=\mathit{ln}(x)$ oder $g(x)=x^2$ für $x>0$) gibt, so dass

für alle x,y.

Für Funktionen mit mehr als zwei Inputvariablen ist die Definition entsprechend.