Homogene Funktionen von zwei Variablen

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14.3 Homogene Funktionen von zwei Variablen

Definition:

Eine Funktion

$f : ℝ^{2} \mapsto ℝ, (x, y) \mapsto f (x, y)$ heißt homogen vom Grad

$n \in ℝ$ , wenn für alle

$(x, y) \in ℝ^{2}$ gilt:

$f (kx, ky) = k^{n} f (x, y) für alle k \in ℝ_{0}^{+}$

Multipliziert man die Variablen $x$ und $y$ mit einer positiven Zahl $k > 0$ , so wird der Funktionswert mit dem Faktor $k^{n}$ multipliziert.

Beispiel 1: Die Funktion $f (x, y) = 5 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ ist homogen vom Grad 4:

$f (kx, ky) = 5 {(kx)}^{2} {(ky)}^{2} + (kx) {(ky)}^{3} = 5 k^{2} x^{2} k^{2} y^{2} + kx k^{3} y^{3} = k^{4} (5 x^{2} y^{2} + x y^{3}) = k^{4} f (x, y) d.h. n = 4$

Für $k = 2$ erhalten wir beispielsweise

$f (2 x, 2 y) = 2^{4} f (x, y) = 16 f (x, y)$

Verdoppelt man also $x$ und $y$ , so steigt der Funktionswert $f (x, y)$ um den Faktor 16.

Beispiel 2: Die Funktion $f (x, y) = x^{2} y + xy$ ist nicht homogen:

$f (kx, ky) = {(kx)}^{2} (ky) + (kx) (ky) = k^{3} x^{2} y + k^{2} xy = k^{2} (k x^{2} y + xy) = k^{3} (x^{2} y + \frac{1}{k} xy)$

Hier ist es also nicht möglich, den Faktor $k^{3}$ bzw. $k^{a}$ für irgendein $a$ auszuklammern, folglich wird die Definitionsgleichung $f (kx, ky) = k^{n} f (x, y)$ einer homogenen Funktion nicht erfüllt.

Allgemein kann man sagen, dass ein Polynom genau dann homogen vom Grad $n$ ist, wenn die Summe der Exponenten in jedem Summanden gleich $n$ ist.

Beispiel 3:Eine in vielen ökonomischen Modellen wichtige Funktion ist die Cobb-Douglas-Funktion

$f (x, y) = C x^{a} y^{b} für (x, y) \in ℝ^{+} \times ℝ^{+}, C > 0, a > 0, b > 0$

Diese Funktion verwendet man oft, um Produktionsprozesse zu beschreiben. $x$ und $y$ nennt man Inputfaktoren, $F (x, y)$ ist die Anzahl der produzierten Einheiten, d.h. $F$ wird eine Produktionsfunktion genannt.
Man kann leicht zeigen, dass die Cobb-Douglas-Funktion homogen vom Grad $a + b$ ist:

$f (kx, ky) = C {(kx)}^{a} {(ky)}^{b} = C k^{a} x^{a} k^{b} y^{b} = k^{a + b} C x^{a} y^{b} = k^{a + b} f (x, y) d.h. n = a + b$

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