5.0.3 Modell und graphische Darstellung

Formales Modell

Die Annahmen bestehen insbesondere aus der Phillipskurve

U = UN + α πe π (5.1)

und der sozialen Wohlfahrt, hier als Verlustfunktion

V = γπ2 + U2 (5.2)

Ineinander eingesetzt ergibt sich

V = γπ2 + U N + α πe π2 = α2 + γπ2 2α U N + απe π + U N + απe 2 = α2 + γπ2 2αxπ + x2

wobei im letzten Schritt, x = UN + απe ersetzt wurde, um die Bearbeitung zu vereinfachen.

Die optimale Inflationsrate, die die gesellschaftliche Verlustfunktion V  minimiert, finden wir nun durch Ableiten und 0 setzen.

dV = 2 α2 + γπ 2αx = 0 πopt = αx α2 + γ = α α2 + γ UN + απe

Periode 0: π0e = 0 π0 = 0 U0 = UN V = UN2

Periode 1: π1e = 0 π1 = α α2+γUNU1 = UN απ1 = γ γ+α2UN V = γ α α2+γUN 2 + γ γ+α2UN 2 = γ γ+α2UN2

Periode 2: π2e = π 1 = α α2+γUN π2 = α α2+γ UN + α α α2+γUN = α γ+2α2 γ+α22UNU2 = UN απ2 = UNγ2+α2γα4 γ+α22

V = γ α γ+2α2 γ+α22 2 + γ2+α2γα4 γ+α22 2 = 1 α2γ γ+2α2 γ+α23 UN2

Periode 3: π3e = π 2 = α γ+2α2 γ+α22UN π3 = α α2+γ UN + α γ+2α2 γ+α22UN = α2α3+α4+γ2+αγ+2α2γ γ+α23 UNU3 = UNαπ3 = 2α5+γ3+2α2γ2α3γ+α4γ γ+α23 UN

V = γ α2α3+α4+γ2+αγ+2α2γ γ+α23 UN 2+2α5+γ3+2α2γ2α3γ+α4γ γ+α23 UN 2 = γ5+4α8+4α2γ4+α4γ2+6α4γ3+4α6γ2+4α6γ+α8γ γ+α25 UN2

Periode : πe = π = α γUN U = UN V = UN2γ+α2 γ

Dabei bestimmen wir die gleichgewichtige Inflationsrate π, indem wir sie mit der erwarteten Inflationsrate gleichsetzen:

πe = π

πe = α α2+γ UN + απe

πe = U Nα γ

Graphische Darstellung

Periode πe πU V
0 0 0
1
2
3
inf

Offensichtlich werden alle Effekte umso kleiner, je größer γ wird, d.h. je mehr Gewicht auf das Inflationsziel gelegt wird. Im Extremfall γ = , wird die Notenbank nie das gute Gleichgewicht verlassen.

Je kleiner α wird, desto schneller ist man nahe am Endgleichgewicht, d.h. das Verschieben von Kosten in die Zukunft funktioniert immer schlechter. Dies liegt daran, dass ein niedriges α bedeutet, dass die Überraschungsinflation nur eine geringe Wirkung auf die Arbeitslosigkeit hat (steile Phillipskurve) und somit eine deutlich höhere Inflation nötig ist, um die Arbeitslosigkeit signifikant zu senken.

Eine Änderung der natürlichen Arbeitslosigkeit UN reskaliert nur das Modell, ändert aber nichts an den relativen Gegebenheiten.


(c) by Christian Bauer
Prof. Dr. Christian Bauer
Lehrstuhl für monetäre Ökonomik
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