5.0.3 Modell und graphische Darstellung

Formales Modell

Die Annahmen bestehen insbesondere aus der Phillipskurve

$$U=U_N+\alpha \left({\pi }^e-\pi \right)$$

(5.1)

und der sozialen Wohlfahrt, hier als Verlustfunktion

$$V=\gamma {\pi }^2+U^2$$

(5.2)

Ineinander eingesetzt ergibt sich

$$\begin{array}{rcll}V& =& \gamma {\pi }^2+{\left(U_N+\alpha \left({\pi }^e-\pi \right)\right)}^2& \\ & =& \left({\alpha }^2+\gamma \right){\pi }^2-2\alpha \left(U_N+\alpha {\pi }^e\right)\pi +{\left(U_N+\alpha {\pi }^e\right)}^2& \\ & =& \left({\alpha }^2+\gamma \right){\pi }^2-2\mathit{\alpha x\pi }+x^2& \end{array}$$

wobei im letzten Schritt, $x=U_N+\alpha {\pi }^e$ ersetzt wurde, um die Bearbeitung zu vereinfachen.

Die optimale Inflationsrate, die die gesellschaftliche Verlustfunktion $V$ minimiert, finden wir nun durch Ableiten und 0 setzen.

$$\begin{array}{rcll}\frac{\mathit{dV}}{\mathit{d\pi }}& =& 2\left({\alpha }^2+\gamma \right)\pi -2\mathit{\alpha x}=0& \\ {\pi }_{\mathit{opt}}& =& \frac{\mathit{\alpha x}}{{\alpha }^2+\gamma }=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }\left(U_N+\alpha {\pi }^e\right)& \end{array}$$

Periode 0: ${\pi }_0^e=0$ ${\pi }_0=0$ $U_0=U_N$ $V=U_N^2$

Periode 1: ${\pi }_1^e=0$ ${\pi }_1=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }{U}_N{U}_1=U_N-\alpha {\pi }_1=\frac{\gamma }{\gamma +{\alpha }^2}{U}_N$ $V=\gamma {\left(\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }{U}_N\right)}^2+{\left(\frac{\gamma }{\gamma +{\alpha }^2}{U}_N\right)}^2=\frac{\gamma }{\gamma +{\alpha }^2}{U}_N^2$

Periode 2: ${\pi }_2^e={\pi }_1=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }{U}_N$ ${\pi }_2=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }\left(U_N+\alpha \frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }{U}_N\right)=\alpha \frac{\gamma +2{\alpha }^2}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}{U}_N{U}_2=U_N-\alpha {\pi }_2=U_N\frac{{\gamma }^2+{\alpha }^2\gamma -{\alpha }^4}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}$

$V=\gamma {\left(\alpha \frac{\gamma +2{\alpha }^2}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}\right)}^2+{\left(\frac{{\gamma }^2+{\alpha }^2\gamma -{\alpha }^4}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}\right)}^2=\left(1-{\alpha }^2\gamma \frac{\gamma +2{\alpha }^2}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^3}\right)U_N^2$

Periode 3: ${\pi }_3^e={\pi }_2=\alpha \frac{\gamma +2{\alpha }^2}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}{U}_N$ ${\pi }_3=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }\left(U_N+\alpha \frac{\gamma +2{\alpha }^2}{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^2}{U}_N\right)=\alpha \frac{2{\alpha }^3+{\alpha }^4+{\gamma }^2+\mathit{\alpha \gamma }+2{\alpha }^2\gamma }{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^3}{U}_N{U}_3=U_N-\alpha {\pi }_3=\frac{-2{\alpha }^5+{\gamma }^3+2{\alpha }^2{\gamma }^2-{\alpha }^3\gamma +{\alpha }^4\gamma }{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^3}{U}_N$

$V=\gamma {\left(\alpha \frac{2{\alpha }^3+{\alpha }^4+{\gamma }^2+\mathit{\alpha \gamma }+2{\alpha }^2\gamma }{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^3}{U}_N\right)}^2+{\left(\frac{-2{\alpha }^5+{\gamma }^3+2{\alpha }^2{\gamma }^2-{\alpha }^3\gamma +{\alpha }^4\gamma }{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^3}{U}_N\right)}^2=\frac{{\gamma }^5+4{\alpha }^8+4{\alpha }^2{\gamma }^4+{\alpha }^4{\gamma }^2+6{\alpha }^4{\gamma }^3+4{\alpha }^6{\gamma }^2+4{\alpha }^6\gamma +{\alpha }^8\gamma }{{\left(\gamma +{\alpha }^2\right)}^5}{U}_N^2$

Periode $\infty$: ${\pi }_{\infty }^e={\pi }_{\infty }=\frac{\alpha }{\gamma }{U}_N$ $U_{\infty }=U_N$ $V=U_N^2\frac{\gamma +{\alpha }^2}{\gamma }$

Dabei bestimmen wir die gleichgewichtige Inflationsrate ${\pi }_{\infty }$, indem wir sie mit der erwarteten Inflationsrate gleichsetzen:

${\pi }_{\infty }^e={\pi }_{\infty }$

${\pi }_{\infty }^e=\frac{\alpha }{{\alpha }^2+\gamma }\left(U_N+\alpha {\pi }_{\infty }^e\right)$

${\pi }_{\infty }^e=U_N\frac{\alpha }{\gamma }$

Graphische Darstellung

Periode	πe	π	U	V
0	0	0
1
2
3
inf

Offensichtlich werden alle Effekte umso kleiner, je größer $\gamma$ wird, d.h. je mehr Gewicht auf das Inflationsziel gelegt wird. Im Extremfall $\gamma =\infty$, wird die Notenbank nie das gute Gleichgewicht verlassen.

Je kleiner $\alpha$ wird, desto schneller ist man nahe am Endgleichgewicht, d.h. das Verschieben von Kosten in die Zukunft funktioniert immer schlechter. Dies liegt daran, dass ein niedriges $\alpha$ bedeutet, dass die Überraschungsinflation nur eine geringe Wirkung auf die Arbeitslosigkeit hat (steile Phillipskurve) und somit eine deutlich höhere Inflation nötig ist, um die Arbeitslosigkeit signifikant zu senken.

Eine Änderung der natürlichen Arbeitslosigkeit $U_N$ reskaliert nur das Modell, ändert aber nichts an den relativen Gegebenheiten.