Kapitel 4
Autonome Differenzen- und Differentialgleichungen erster Ordnung

In diesem Kapitel wollen wir die graphischen Lösungsmöglichkeiten von Differenzen- vs. Differentialgleichungen erster Ordnung darstellen. Diese in der Ökonomie häufig vorkommenden autonomen Modellansätze eignen sich besonders gut für eine Visualisierung, da sich die Gleichgewichtsbedingung ideal im $x_t-x_{t+1}$ bzw. $x-ẋ$ Diagramm darstellen lässt. $x_t$ bzw. $x\left(t\right)$ bezeichnnen dabei den Zustand unserer Ökonomie oder unseres Systems. Daneben gibt es noch mögliche Parameter $p=\left(p_1,...,p_n\right)$. Im Fall des Solowmodells war die Kapitalintensität $k$ unser $x$ und die Sparquote $s$, Abschreibungsrate $\delta$ und Bevölkerungswachstumsrate $n$ unsere Parameter $\left(p_1,p_2,p_3\right)$. Man kann die Darstellung der Parameter auch völlig in die definierende Funktion integrieren. In der Ökonomie verwenden wir jedoch für einige Elemente den Begriff exogene Parameter, um zu verdeutlichen, dass diese Elemente eine eigenständige Bedeutung haben und ihr Einfluss auf das System analysiert werden kann.

Bei diesen Modellklassen geht es darum, die zeitliche Entwicklung eines (ökonomischen) Systems darzustellen. Dabei wird die Veränderung des aktuellen Zustands ($\mathrm{\Delta }{x}_t\equiv x_{t+1}-x_t$ bzw. $ẋ$) als nur vom aktuellen Zustand $x_t$ und den festen exogenen Parametern abhängig dargestellt. Dabei ist wichtig, dass die Zeit selbst keinen eigenen Einfluss hat, dh. dass die Funktion selbst wie auch die exogenen Parameter nicht von der Zeit abhängen. (Solche Systeme werden als "autonom" bezeichnet.) Somit kann man aus dem aktuellen Zustand $x_t$ bzw. $x$ ableiten, wann sich das System nicht mehr ändert $\mathrm{\Delta }{x}_t\equiv x_{t+1}-x_t$ oder $x_{t+1}=x_t$ bzw. $ẋ=0.$