10.1 Allgemeines zur Schreibweise von Funktionen

In den Wirtschaftswissenschaften treten häufig Funktionen $f:𝔻\to 𝕎$ der folgenden Arten auf: Definition: Eine Funktion $f:𝔻\to 𝕎$ heißt

1. relle Funktion, falls $𝔻\subseteq ℝ$ und $𝕎\subseteq ℝ$
2. reellwertige Funktion (in) $n$ reellen Variablen), falls $𝔻\subseteq {ℝ}^n$ und $𝕎\subseteq ℝ$
3. $R^n$-$R^m$-Funktion, falls $𝔻\subseteq {ℝ}^n$ und $𝕎\subseteq {ℝ}^m$

1. $f:𝔻\to 𝕎,x\mapsto x^2$ mit $𝔻=ℝ$: Wir setzen beliebige reelle Zahlen in den Funktionsterm $f\left(x\right)=x^2$ ein:

   $$f\left(2\right)=2^2=4,f\left(-7\right)={\left(-7\right)}^2=49,f\left(\sqrt{3}\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^2=3,f\left(0\right)=0^2=0$$

   Man erhält also als Funktionswerte die Zahl $0$ oder positive reelle Zahlen. Die Wertemenge $𝕎$ ergibt sich also zu $𝕎={ℝ}_0^{+}$. D.h. man kann also auch

   $$f:ℝ\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto x^2$$

   schreiben.

2. $f:𝔻\to 𝕎,\left(x,y\right)\mapsto -x^2-y^4$ mit $𝔻={ℝ}^{⊭}$: Hier werden beliebige Paare $\left(x,y\right)\in {ℝ}^{⊭}$ eingesetzt:

   $$f\left(2,1\right)=-2^2-1^4=-5,f\left(-1,-2\right)=-{\left(-1\right)}^2-{\left(-2\right)}^4=-1-16=-17,f\left(0,0\right)=-0^2-0^4=0$$

   Hier erhalten wir als Funktionswerte die Zahl 0 oder beliebige negative reelle Zahlen. Die Wertemenge $𝕎$ ist sich also zu $𝕎={ℝ}_0^{-}$. D.h. man kann also auch

   $$f:{ℝ}^{⊭}\to {ℝ}_0^{-},\left(x,y\right)\mapsto -x^2-y^4$$

   schreiben.

3. $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2,\left(\begin{array}{c}\hfill x_1\hfill \\ \hfill x_2\hfill \\ \hfill x_3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}\hfill x_1{x}_2+x_3^2\hfill \\ \hfill x_1+x_2+x_3\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$